Символические вычисления многочленов при разработке калькулятора расширенных чисел

Казарян М. Л., Шахраманьян М. А., Рихтер А. А.

Читать статью полностью

  Символические вычисления многочленов при разработке калькулятора расширенных чисел(2,01 MB)

Аннотация

В работе рассмотрены представления и основные операции над многочленами от многих переменных (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую и рациональную степень, композиция многочленов), примеры групп и колец алгебраических выражений и их морфизмов. Алгебраические выражения, элементарные и сложные функции отображаются расширенными числами, над которыми вводятся различные арифметические операции, отношения (равенства и неравенства, порядка и др.) и свойства (коммутативности сложения и умножения, дистрибутивности умножения относительно сложения и т.д.). Показана возможность символического исчисления с помощью расширенных чисел, которая может быть применена, например, в символических расчётах сложных выражений, дифференциальном и интегральном исчислении алгебраических выражений, решении многочленных уравнений и неравенств и др.

Ключевые слова:

многочлены – polynomial functions; алгебраические выражения – algebraic expressions; кольцо многочленов – polynomial ring; символическое исчисление – symbolic calculus; расширенные числа – extended numbers

Список литературы

1. Белоусов, А. И. Дискретная математика: Учеб. для вузов / А.И. Белоусов, С.Б. Ткачев; под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. – 3-е изд., стереотип. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 744 с.

2. Фрид, Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру / Э. Фрид. – М.: Физматлит, 1979. – 260 с.

3. Метод минимального многочлена для оценки параметров сигналов, принимаемых антенной решеткой / В.Т. Ермолаев [и др.] // Акустический журнал. – 2018. – Т. 64, № 1. – С. 78–85.

4. Кащенко, М. А. Алгоритм ассиметричного шифрования на основе решения задачи целочисленного программирования при взаимодействии информационных сетей / М.А. Кащенко, В.А. Липатников, А.И. Лобашев // Информационные системы и технологии. – 2019. – № 1 (111). – С. 113–123.

5. Kazaryan, M. L. Space monitoring of the Earth and Haar wavelet transform (Дистанционный мониторинг поверхности Земли и вейвлет-преобразование Хаара) / M.L. Kazaryan, M.A. Schahramanian, A.A. Richter // Future Communication Technology and Engineering. – 2015. – No. 61. – P. 291–294.

6. Кочетков, Ю. Ю. Многочлены Чебышёва, многочлены Золотарёва и плоские деревья / Ю.Ю. Кочетков // Фундаментальная и прикладная математика. – 2013. – Т. 18, № 6. – С. 161–170.

7. Андрианов, П. А. О константе и шаге в неравенстве Джексона для наилучших приближений тригонометрическими многочленами и многочленами Хаара / П.А. Андрианов, О.Л. Виноградов // Математические заметки. – 2016. – Т. 100, № 3. – С. 323–330.

8. Оганесян, Д. А. Многочлены Золотарёва и редукция многочленов Шабата в положительную характеристику / Д.А. Оганесян // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. – 2016. – № 6. – С. 47–51.

9. Tasena, S. Polynomial copula transformations / Santi Tasena // International Journal of Approximate Reasoning. – 2019. – Vol. 107. – P. 65–78.

10. Novacoski, J. Key polynomials and minimal pairs / Josnei Novacoski // Journal of Algebra. – 2017. – Vol. 523. – P. 1–14.

11. Dressler, M. An approach to constrained polynomial optimization via nonnegative circuit polynomials and geometric programming / M. Dressler, S. Iliman, T. de Wolff // Journal of Symbolic Computation. – 2019. – Vol. 91. – P. 149–172.

12. Jörgens, T. Imaginary projections of polynomials / T. Jörgens, T. Theobald, T. de Wolff // Journal of Symbolic Computation. – 2019. – Vol. 91. – P. 181–199.

13. Википедия [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org., свободный. – Загл. с экрана.

14. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. – М.: Наука, 1968. – 431 с.

15. Deng, Q. The generalized Yamada polynomials of virtual spatial graphs / Q. Deng, X. Jin, L.H. Kauffman // Topology and its Applications. – 2019. – Vol. 256. – P. 136–158.

16. The zero forcing polynomial of a graph / K. Boyer [et al.] // Discrete Applied Mathematics. – 2019. – Vol. 258. – P. 35–48.

17. Аптекарев, А. И. Самосопряженные матрицы Якоби на графах и совместно ортогональные многочлены / А.И. Аптекарев, С.А. Денисов, М.Л. Ятцелев // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. – 2018. – № 3. – С. 1–27.

18. Шабат, Г. Б. Метризованные ленточные графы и абелевы многочлены / Г.Б. Шабат // В книге: Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения = Algebra and number theory: modern problems and application: тезисы докладов V Международной конференции. Тула. – 2003. – С. 244–246.

19. Рихтер, А. А. Матричный и символический калькуляторы и их применение в цифровой обработке космических изображений / А.А. Рихтер, М.Л. Казарян, М.А. Шахраманьян // Информация и Космос. – 2019. – № 3. – С. 60–68.

20. Супруненко, Д. А. Группы матриц / Д.А. Супруненко. – М.: Наука, – 1972. – 352 с.

21. Martínez-Peñas, U. Evaluation and interpolation over multivariate skew polynomial rings / U. Martínez-Peñas, F.R. Kschischang // Journal of Algebra. – 2019. – Vol. 525. – P. 111–139.

22. Гашков, С. Б. О сложности решения уравнений малой степени в кольце целых чисел и кольцах вычетов / С.Б. Гашков, И.Б. Гашков, А.Б. Фролов // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. – 2019. – № 1. – С. 7–15.

23. Онегов, В. А. Оптимальный алгоритм деления многочлена на многочлен с остатком / В.А. Онегов // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. – 2016. – № 18. – С. 88–99.

24. Тураев, Т. К. Алгоритм Бухбергера / Т.К. Тураев, А.С. Ташпулатов, Я.Д. Джуманазаров // Внедрение результатов инновационных разработок: проблемы и перспективы. Сборник статей Международной научно практической конференции. – 2019. – С. 17–21.

25. Горбань, А. Н. Обобщенная аппроксимационная теорема и точное представление многочленов от нескольких переменных суперпозициями многочленов от одного переменного / А.Н. Горбань // Известия высших учебных заведений. Математика. – 1998. – № 5. – С. 6–9.

26. Завало, С. Т. Элементарная алгебра / С.Т. Завало. – М.: Просвещение, 1964. – 303 с.

27. Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть 3. Основные структуры / А.И. Кострикин. – М.: Физматлит, 2004. – 272 с.

28. Шноль, Э. Э. О приближении функций однородными многочленами и о рядах по однородным многочленам / Э.Э. Шноль // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. – 1978. – № 120. – С. 1–16.

29. Теляковский, С. А. О приближении дифференцируемых функций многочленами Бернштейна и многочленами Канторовича / С.А. Теляковский // Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. – 2008. – Т. 260. – С. 289–296.

30. Noschese, S. Computing unstructured and structured polynomial pseudospectrum approximations / S. Noschese, L. Reichel // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2019. – Vol. 350. – P. 57–68.

31. Илюшечкин, Н. В. О трёхмерных матрицах с минимальным многочленом второй степени / Н.В. Илюшечкин // Заметки ученого. – 2016. – № 6 (12). – С. 24–27.

32. Dilcher, K. Identities for Bernoulli polynomials related to multiple Tornheim zeta functions / K. Dilcher, A. Straub, C. Vignat // Journal of Mathematical Analysis and Applications. – 2019. – Vol. 476 (2). – P. 569–584.

33. Quadratic realizability of palindromic matrix polynomials / F. De Terán [et al.] // Linear Algebra and its Applications. – 2019. – Vol. 567. – P. 202–262.

34. Castillo, K. On Markov’s theorem on zeros of orthogonal polynomials revisited / K. Castillo, M.S. Costa, F.R. Rafaeli // Applied Mathematics and Computation. – 2018. – Vol. 339. – P. 390–397.